运筹学第三版课后习题全解析：从基础到进阶的实战指南

一、线 *** 规划：建模与求解的黄金法则

先来看第1章最经典的工厂生产案例：某厂生产A/B/C三种产品，数据如下表：

产品	原料消耗(kg/件)	设备工时(h/件)	利润(元/件)
A	1.2	0.8	300
B	1.8	1.2	500
C	2.4	1.5	800
资源上限	310kg	130h	—

建模关键步骤：

1. 设决策变量：x?,x?,x?分别 *** A/B/C产量

2. 目标函数： *** x Z=300x?+500x?+800x?

3. 约束条件：

• 1.2x?+1.8x?+2.4x?≤310（原料 *** ）
• 0.8x?+1.2x?+1.5x?≤130（工时 *** ）
• x?,x?,x?≥0（非负约束）

这个模型看似简单，但要注意单位统一和实际意义验证。比如算出来x?=65.2时，要考虑是否允许生产0.2件产品——这就引出了整数规划的概念。

二、动态规划：背包问题的精妙解法

第8章动态规划里的背包问题堪称经典。假设登山者背包限重10kg，有三种物品可选：

物品	单件重量(kg)	价值函数c?(x)
1	3	4x2
2	4	5x+2
3	2	3e?

解题框架：

1. 阶段划分：按物品种类分3个阶段

2. 状态变量：s?表示剩余可用重量

3. 递推方程：

```

f?(s?)= *** x{c?(x?)+f???(s?-w?x?)}

```

举个具体计算例子：当s?=5kg时，对于物品3：

• 取0件：f?(5)=0+f?(5)
• 取1件：f?(5)=3e1+f?(3)
• 取2件：f?(5)=3e2+f?(1)

  比较后可得更优取值。这种分阶段优化的思想，正是动态规划的精髓。

三、 *** 计划：项目管理的核心工具

第7章 *** 计划技术对工科生特别实用。比如某项目工序如下：

工序	A	B	C	D	E	F	G
紧前工序	A	C	A	B,D,E

双代号 *** 图绘制要点：

1. 用箭线表示工序

2. 节点编号遵循i

3. 虚工序用虚线表示逻辑关系

关键路径计算演示：

假设各工序时间已知，通过正推法求最早时间，反推法求最迟时间，时差为0的路径就是关键路径。这个工具在毕设项目管理中用得上，建议重点掌握！

四、排队论：服务 *** 的数学建模

第9章排队论的实际应用超乎想象。比如银行窗口服务 *** ：

• 顾客到达率λ=15人/小时
• 服务率μ=20人/小时
• *** 容量N=5人

*** 能指标计算公式：

1. 空闲概率P?=(1-ρ)/(1-ρ??1) 其中ρ=λ/μ

2. 平均队长L=ρ[1-(N+1)ρ?+Nρ??1]/[(1-ρ)(1-ρ??1)]

3. 顾客损失率P?=ρ?(1-ρ)/(1-ρ??1)

当ρ=0.75，N=5时，算得P?≈5.2%。这意味着每小时约有0.78个顾客因满员离开——这个数据对银行调整窗口数量很有参考价值。

五、决策分析：风险与收益的权衡

最后看看第11章决策论里的典型案例。某企业面临三种方案：

方案	滞销(E?)	一般(E?)	畅销(E?)
扩建S?	-4	13	15
改造S?	4	7	8
新建S?	-6	12	17

不同决策准则下的选择：

1. 悲观法( *** ximin)：选S?（保证最差情况损失最小）

2. 乐观法( *** xi *** x)：选S?（搏更高收益17万）

3. 后悔值法：计算机会损失矩阵后选S?

4. 期望值法(设P(E?)=0.3,P(E?)=0.5,P(E?)=0.2)：S?期望值更高

这个案例生动说明：决策没有标准 *** ，关键要明确决策者的风险偏好。

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